Besaran Pokok, Besaran Turunan, Dimensi Dan Besaran Vektor

Besaran adalah sesuatu yang mempunyai besar (nilai) dan satuan, sehingga dapat diukur. Satuan adalah sesuatu yang digunakan sebagai pembanding untuk menyatakan nilai dalam suatu pengukuran.

Besaran Pokok

Besaran pokok adalah besaran yang berdiri sendiri dan memiliki nilai yang sudah ditetapkan berdasarkan ketetapan atau standar internasional. Besaran pokok terbagi menjadi tujuh, yaitu :

Besaran Pokok	Satuan	Simbol	Definisi
Panjang	meter	m	1 m =    1            s x laju cahaya        299.792.458
Massa	kilogram	kg	1 kg = massa silinder platina iridium
Waktu	sekon	s	1 sekon = 9.192.631.770 periode getaran atom Cs.133
Kuat Arus	ampere	A	1 A = kuat arus listrik dalam konduktor sejajar yang mendapat gaya Lorent sebesar 2 x 10-7 N/m
Suhu	Kelvin	K	1 K =    1      x suhu termodinamika titik tripel air       273,16
Jumlah Zat	mol	mol	1 mol = jumlah zat dalam atom C-12
Intensitas Cahaya	Kandela	cd	1 cd = intensitas radiasi benda hitam seluas 1/600.00 m2 pada 1793 oC dan tekanan 101,33 N/m2

Besaran Turunan

Besaran turunan adalah besaran yang diturunkan dari satu atau lebih besaran pokok.

Besaran Turunan	Satuan	Simbol	Asal Besaran Pokok
Luas	meter2	m2	Panjang
Volume	meter3	m3	Panjang
Kecepatan	meter/sekon	m/s	Panjang dan waktu
Percepatan	meter/sekon2	m/s2	Panjang dan waktu
Gaya	kilogram . meter     sekon2	kg.m/s2	Massa, panjang dan waktu
Usaha	kilogram . meter2     sekon2	kg.m2/s2	Massa, panjang dan waktu

Dimensi

Dimensi adalah cara menyatakan suatu besaran ke dalam besaran pokok dalam bentuk lambang-lambang. Dimensi dilambang [ ], misalnya [V] = dimensi V.

Berikut ini dimensi dari besaran pokok :

Besaran Pokok	Satuan	Dimensi
Volume	meter3	L3
Kecepatan	meter/sekon	LT-1
Gaya	kilogram/meter.sekon2	M.LT-2
Kuat Arus	R/sin α = a/sin α1 = b/sin α2	ML-1T-2

Analisis dimensi adalah metode untuk menguji konsistensi suatu besaran dengan mengetahui dimensi besaran tersebut.

Contoh :

1. A = B + C, akan menjadi persamaan yang benar secara dimensi jika ketiga besaran A, B dan C sama.

2. x = v . t, jika x adalah jarak, V kecepatan dan t waktu, benarkah persamaan tersebut ?

x = v . t

[x] = [v] [t]

L = L . T^-1 . T

L = L

Ternyata antara ruas kanan dan ruas kiri mempunyai dimensi yang sama, sehingga persamaan di atas adalah benar.

Besaran Vektor

Besaran vektor adalah besaran yang memiliki nilai (besarnya) dan arah.

Penulisan Vektor

Vektor dapat ditulis dengan satu atau dua huruf dan digambarkan dengan tanda panah untuk menunjukkan arahnya dan panjang garis menunjukkan nilainya.

Contoh :

 

Penjumlahan Vektor

a. Metode Jajaran Genjang

Dua vektor atau lebih dapat diganti dengan satu vektor yang disebut resultan vektor.

Contoh :

Vektor A dan B yang saling mengapit sudut α bila dijadikan 1 vektor (R), maka :

Arah R dapat digunakan persamaan :

R/Sin α = a/Sin α₁ = b/Sin α₂

b. Metode Poligon

_   ­_  _   _

R = a + b + c

Pengurangan Vektor

Rumus :

Menguraikan Vektor

Sebuah vektor dapat diuraikan menjadi dua buah vektor yang saling tegak lurus dengan cara diuraikan pada sumbu x dan sumbu y.

                      ­_    _

Uraian pada sumbu x → Vx = V Cos α

                                              _       ­_

Uraian pada sumbu y → Vy = V Sin α

                       _

Sehingga | V | = √V_x² + V_y²  , arah vektor memenuhi persamaan :

Tg α = V_y/V<sub>x

* V sama dengan R</sub>

Penjumlahan Vektor Dengan Cara Analitis

Penjumlahan vektor dengan cara analitis, yaitu dengan cara menjumlahkan masing-masing komponen pada sumbu x dan sumbu y.

     _   ­­  _

R_x = a_x + (-b_x)

     _    _

R_y = a_x + b_x

R = √R_x² + R_y²

Arah resultan R dapat ditentukan :

Tg α = R_y/R_x

Vektor Satuan

Vektor satuan pada koordinat 3 dimensi masing-masing adalah :

1. Vektor satuan l = vektor yang besarannya 1 satuan pada sumbu x positif.

2. Vektor satuan j = vektor yang besarannya 1 satuan pada sumbu y positif.

3. Vektor satuan k = vektor yang besarannya 1 satuan pada sumbu z positif.

Vektor A dalam koordinat dapat dinyatakan :

_

A = A_Xi + A_yj + A_zk

Besar vektor A dinyatakan : 
|A| = √A_x² + A_y² + A_z²

Penjumlahan vektor dapat ditulis :

_   _

A + B = (A_x + B_x)i + (A_y + B_y)j + (A_z + B_z)k

Pengukuran vektor dapat ditulis :

_   _

A - B = (A_x - B_x)i + (A_y - B_y)j + (A_z - B_z)k

Perkalian vektor :

a. Perkalian titik (dot)

Perkalian titik dua vektor A da  B yang mengapit sudut α dapat dinyatakan :

→ →

A . B = A . B . Cos α

→ →

A . B = A_x . B_x + A_y . B_y + A_z . B_z

b. Perkalian silang (cross)

Perkalian silang dua vektor A dan B yang mengapit sudut α dinyatakan :

→  →

A x B = A . B . Sin α

→  →

A x B = (A_yB_z – A_zB_y)i + (A_zB_x – A_xB_z)j + (A_xB_y – A_yB_x)k

Contoh 1:

Dua vektor mengapit dan membentuk sudut 60^o, di mana vektor pertama adalah 40 N dan vektor kedua adalah 9 N, berapa resultan vektornya?

Jawab :

R = √F₁² + F₂² + 2. F₁ . F₂ .Cos α

   = √40² + 9² + 2. 40 . 9 . Cos 60^o

   = √1600 + 81 + 720 . 0,5

   = √1681 + 360

   = √2041 = 45,18 N

Contoh 2 :

Dua vektor mengapit dan membentuk sudut 60^o, di mana F₁ = 20 satuan dan F₂ = 10 satuan, tentukan arah resultan kedua vektor!

Jawab :

R = √F₁² + F₂² + 2. F₁ . F₂ .Cos α

   = √20² + 15² + 2. 20. 15 . Cos 60^o

   = √400 + 225 + 600 . 0,5

   = √625 + 300 = 30,41

R/Sin α = F₂/Sin α₂

Sin α₂ = F₂ . Sin α

             R

Sin α₂ = 15/30,41. Sin 60^o

          = 15/30,41 .0,9

          = 13,5/30,41 = 0,44

      α₂ = 26,10^o

* Sin 60^o = ½ √3

              = ½. 1,7

              = 1,7/2 = 0,85 = 0,9

Contoh 3 :

Dua buah vektor memiliki kecepatan 15 m/s dan 20 m/s membentuk sudut 60^o, berapa selisih kedua vektor tersebut ?

Jawab :

 _     _

|F₁ – F₂| =√ F₁² + F₂² - 2. F₁ . F₂ .Cos α

            = √15² + 20² – 2. 15 . 20 . Cos 60^o

            = √225 + 400 – 600 . 0,5

            = √625 – 300

            = √325 = 18,03 m/s 

Contoh 4 :

Terdapat tiga buah vektor F₁ = 25 N, F₂ = 30 N dan F₃ = 10 N, seperti gambar berikut :     

Tentukanlah resultan dari ketiga vektor tersebut!

Jawab :

Keterangan gambar :

- F₁ ditunjukkan dengan garis biru yang mana garis ke atas merupakan F₁ sin 45^o dan garis ke kiri merupakan F₁ cos 45^o.

- F₂ ditunjukkan dengan garis hijau yang mana garis ke atas merupakan F₂ sin 63^o dan garis ke kanan merupakan F₂ cos 63^o.

- F₃ ditunjukkan dengan garis merah yang mengarah ke bawah pada sumbu Y.

- Arah garis ke kiri dan ke bawah bernilai minus.

- Arah garis ke kenan dan ke atas bernilai plus.

∑F_X = F₁ cos 45^o + (– F₂ cos 63^o)

       = 25 . ½ √2 + (-30 . 0,45)

       = 25 . 0,7 – 13,5

       = 17,5 – 13,5 = 4 N

∑F_Y = F₁ sin 45^o + F₂ sin 63^o – F₂

       = 25 . ½ √2 + 30 . 0,89 – 10

       = 25 . 0,7 + 26,7 – 10

       = 17,5 + 27 – 10 = 34,5 = 35 N

R = √(∑F_X)² + (∑F_Y)²

   = √4² + 35²

   = √16 + 1225

   = √1241 = 35,22 N

Contoh 5 :

Sebuah perahu menyeberangi sungai seluas 220 m dengan kecepatan air 5 m/s. Apabila perahu diarahkan menyilang tegak lurus dengan kecepatan 3 m/s, tentukan panjang lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang sungai!.

Jawab :

B² = A² + C²  → rumus phytagoras segitiga siku-siku

B  = √A² + C²

    = √3² + 5²

    = √9 + 25

    = √34 = 5,83

Jadi, V_R = 6 m/s

Panjang lintasan yang ditempuh perahu untuk sampai ke seberang sungai adalah dengan menggunakan rumus perbandingan antara segitiga ABC dan segitiga ADE :

AD/DE = AB/BC

AD = AB/BC x DE

AD = 6/3 x 220

   = 2 x 220 = 440 m

Contoh 6 :

Tiga buah vektor, yaitu :

a = 3i + 4j

b = 5i + 6j

c = 7i + 8j

Tentukan besar resultan ketiga vektor dan kemiringan sudut antara resultan dan sumbu X!

Jawab :

R = (a+b+c)i + (a+b+c)j

   = (3+5+7)i + (4+6+8)j

   = 15i + 18j

R = √R_X² + R_Y²

R = √15² + 18²

   = √225 + 324

   = √549 = 23,43 satuan

Tan α = R_Y/R_X

      = 18/15 = 1,2

   α  = 50,19^o

Contoh 7 :

Diberikan dua buah vektor masing-masing vektor dan besarnya adalah A = 6 satuan, B = 12 satuan. Kedua vektor ini membentuk sudut 35^o. Tentukan hasil dari :

a. A . B

b. A x B

Jawab :

  → →

a. A . B = A . B . Cos α

            = 6 . 12 . Cos 35^o

            = 72 . 0,8 = 57,6 satuan = 58 satuan

    →  →

b. A x B = A . B . Sin α

             = 6. 12 . Sin 35^o

             = 72 . 0,6 = 43,2 satuan = 43 satuan 
Kesalahan Sistematik Dan Kesalahan Kebetulan/Acak

Kesalahan Sistematik terdiri dari :

a. Kesalahan alat ukur (kalibrasi, kelelahan alat atau gesekan)

b. Kesalahan paradoks (cara membaca alat ukur)

c. Kesalahan prosedural (cara pelaksanaan percobaan yang kurang sempurna)

Kesalahan Kebetulan/Acak terdiri dari :

a. Kesalahan menaksir

b. Kondisi yang berubah, misalnya :

- Fluktuasi tegangan listrik.

- Landasan yang bergeser atau paralaks (perubahan kedudukan sudut dari dua titik diam, relatif satu sama lain yang diamati seorang pengamat yang bergerak)

- Perubahan suhu atau tekanan udara dan sebagainya.

Contoh :

Jika pada saat jam 12.00 tepat, kamu melihat jam dinding dari sebelah kiri tampak seperti jam 12.05, hal ini termasuk jenis kesalahan?

Jawab : Paralaks 
Kesalahan Mutlak Dan Kesalahan Relatif

Kesalahan mutlak adalah kesalahan yang ada dalam suatu pengukuran, besarnya sama dengan ½ skala terkecil. Kesalahan relatif adalah kesalahan yang didapatkan pengukuran dari nilai rata-rata.

Rumus :                   

         _

KR = x - x_i  x 100 %  

          _

           x

Keterangan :

­­_

X adalah nilai rata-rata

X_i adalah nilai tiap percobaan

Contoh :

1. Dalam pengukuran panjang pensil dengan mistar yang mempunyai skala terkecil mm didapatkan 14,6 cm.

Kesalahan mutlak = ½ x 1 mm = ½ x 0,1 cm = 0,05 cm

Panjang pensil = (14,6 ± 0,05)

2. Dalam 4 kali percobaan menentukan massa jenis suatu zat cair diperoleh sebagai berikut :

Massa Jenis (kg/m3)	∆ρ
810	810 - 804 = 6
795	804 – 795 = 9
808	808 – 804 = 4
803	804 - 803 = 1

Maka,

_

ρ = ρ_rata = 810 + 795 + 808 + 803 = 804 kg/m³

                  4

∆ρ_rata-rata = 6 + 9 + 4 + 1 = 20/4 = 5

                 4

Kesalahan relatif =
∆ρ  x 100 %  =
 _     
 ρ

= 5/804 x 100 % = 0,6 %

Hubungan antara dua besaran

1. Berbanding lurus (berbanding senilai)

Berbanding lurus adalah jika besaran Y bertambah disertai dengan penambahan x ditulis :

y ~ x atau dapat ditulis

y = cx, di mana c merupakan bilangan tetap.

Grafik Berbanding Lurus

Keterangan :

Gambar 1 :

Persamaan y = cx

Contoh :
M = ρV 
(M ~ V)

Gambar 2 :

Persamaan y = y_o + cx

Contoh : 
V_t = V_o + a.t

(V_t ~ t)

Gambar 3 :

Persamaan y = y_o – cx

Contoh : 
Vt = V_o – g.t

(Vt ~ t)

2. Berbanding Terbalik

Berbanding terbalik adalah jika suatu besaran Y bertambah yang disertai pengurangan besaran lain menurut perbandingan tertentu, ditulis :

y ~ 1/x atau y = c/x  , di mana c merupakan konstanta

Grafik Berbanding Terbalik

Contoh :

Grafik antara P dan V pada hukum Boyle

P. V = k atau P = k/V

Hubungan dengan besaran fisis tidak hanya perbandingan senilai atau berbanding dengan pangkat satu, tetapi berbanding dengan besaran berpangkat.

Berbanding Lurus Dengan Pangkat

Berbanding lurus dengan pangkat, ditulis :

y ~ x² atau y =ax²

Grafik Berbanding Lurus Dengan Pangkat

Persamaan : y = ax²

Contoh :

P = R . i²

(P ~ i)

Keterangan :

P adalah daya listrik

i adalah kuat arus

R adalah hambatan listrik             

Persamaan : y = -ax²

Contoh :

Rumus jatuh bebas (h) = - 1/2 . gt2

Keterangan :

h adalah tinggi benda

t adalah waktu

g adalah percepatan gravitasi

Perbandingan Yang Tidak Teratur

Terkandang nilai suatu besaran dengan besaran yang lain tidak selalu terjadi kuadran yang tetap, adakalanya a mula-mula suatu besaran bertambah disertai bertambahnya suatu besaran yang lain, kemudian nilai besaran itu menjadi berkurang dengan bertambahnya nilai besaran yang lain.

Berikut ini beberapa contoh grafik hubungan antara dua besaran dengan perbandingan yang tidak teratur :